Étude de la convexité

Propriété

La fonction  \(\ln\) est concave sur \(]0 \ ; +\infty[\) .

Démonstration

\(\ln\)  est dérivable sur \(]0\ ; +\infty[\)  et, pour tout réel \(x>0,\ \ln'(x)=\dfrac{1}{x}\) .
\(\ln^{\prime}\)  est dérivable sur \(]0\ ; +\infty[\)  et, pour tout réel \(x>0,\ \ln''(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) .
Pour tout réel  \(x\)  strictement positif,  \(\ln''(x)<0\) donc la fonction \(\ln\)  est concave sur \(]0 \ ;+\infty[\) .